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Diofanto fue un filósofo y matemático
de la antigua Grecia de cuya vida poco se sabe. El siguiente
es el epitafio que se dice mandó poner en su tumba.
La pregunta natural que se hace es: ¿Cuántos
años
vivió Diofanto?
Esta pregunta no la vamos a contestar ahora.
Se tratará en este punto de plantear la necesidad de que para
contestar la pregunta y otras que frecuentemente se plantean
y requieren
la aplicación de la matemática, es necesario saber
expresarlas en términos del lenguaje propio de esta materia.
Este lenguaje es el álgebra y da lugar a las
llamadas expresiones algebraicas, algunas de ellas seguro que
las hemos oído nombrar: ecuaciones, polinomios, fórmulas, inecuaciones,
etc.
La siguiente tabla muestra algunas frases y su correspondiente
representación simbólica.
Lenguaje común
|
Simbolización
|
| x más y |
| x aumentado
en y |
| La suma de x e y |
| Sumar y a x |
| y agregado
a x |
|
x + y
|
| x menos y |
| x disminuido
en y |
| a x se
le resta y |
| Se le quita y a x |
| y restado
de x |
| La diferencia entre x e y |
| La cantidad y se
substrae de x |
|
x - y
|
| El producto de x por y |
| x veces y |
| x multiplicado
por y |
| EL producto de x y y |
|
x × y, x · y,
xy
|
|
|
(x)(y),
x(y), (x)y
|
|
| x entre y |
| x dividido
por y |
La razón de x a y
|
| El cociente de x entre y |
| y divide
a x |
|
x / y, x ÷ y
|
| |
 ,  |
|
| x es y |
| x es
igual a y |
| x e y son
lo mismo |
| x igual y |
|
x = y
|
Ejemplos.
| |
Enunciado |
Simbolización
|
| 1. |
El doble de un número más tres |
2x + 3
|
| 2. |
Un número disminuido en cinco |
a - 5
|
| 3. |
el cociente de 8 entre un número |
8 / y
|
| |
Enunciados con x, y números |
Simbolización
|
| 1. |
Tres veces su producto |
3xy
|
| 2. |
Su suma entre su producto |
|
| 3. |
La suma por la diferencia |
(x + y)(x - y)
|
| 2. Traducción de enunciados |
|
Ahora se desarrollarán ejercicios que ilustrarán
cómo modelar algebraicamente situaciones expresadas en forma
verbal.
Primer enunciado a traducir:
La suma de dos números
es 32 y su diferencia es 4.
|
| 1. |
Se
representan los dos números por las letras
x, y (aunque pueden ser cualesquiera
otras letras) |
| 2. |
La primera frase: La suma
de dos números
es 32, se simboliza así: x
+ y = 32 (aunque también puede
ser y
+ x = 32, porque el orden en que
se suma no altera el resultado) |
| 3. |
La segunda frase requiere mayor cuidado: su
diferencia es 4. El cuidado es por que se
habla de una diferencia de 4, entonces uno de los
números tiene que
sel mayor que el otro. Hay que decidir cuál.
Digamos que sea x el mayor. Hecha la selección
la frase se simboliza así: x
- y = 4
En realidad el
cuidado que se tomó no es
tan importante en este caso. Sin
embargo, en muchas otras situaciones
resulta fundamental y determinante
para la correcta solución
de los problemas, por esto es mejor
que nunca se olvide hacerlo, en
matemáticas estos detalles
no son menores. |
En consecuencia la oración completa queda simbolizada
por un par de ecuaciones:
| Oración |
La suma de dos números
es 32 y su diferencia es 4 |
| Traducción al álgebra |
dos
números: x, y, con x > y
x + y = 32
x - y = 4
|
|
El mago
El siguiente es un juego matemático y el propósito
es modelar en términos algebraicos el procedimiento
en el que se sustenta. Por lo pronto juega con él.
Para hacerlo pulsar con el botón izquierdo del
ratón sobre la punta de flecha azul del
campo denominado "Paso",
a continuación hay que seguir las instrucciones. Al llegar
al paso donde se pide introducir un número, hay que
escribir
el número
pedido en el espacio "resultado"
y a continuación pulsar la tecla Enter,
en seguida se pulsa al siguiente paso.
Descartes. Autor de la actividad: Enrique
Martínez
Arcos
El problema es: ¿Cómo conocer el procedimiento
matemático que sustenta el juego?
En la siguiente tabla y por renglón se transcribe
la secuencia de instrucciones que da el Mago. Copiar
la tabla en
el cuaderno
y llenarla con los números que resulten de las instrucciones
del mago cuando en el paso 1 se piensa un número concreto,
por ejemplo 11.
| Paso |
Instrucción |
Realización |
| 1 |
Piensa un número |
|
| 2 |
Multiplícalo por 4 |
|
| 3 |
Al resultado súmale 34 |
|
| 4 |
Ahora divide entre 2 |
|
| 5 |
Multiplica el resultado por 5 |
|
| 6 |
Introduce el número obtenido en... |
|
| 7 |
El número que pensaste al comienzo es... |
|
Repetir el registro anterior en al menos otro caso.
Serán útiles a continuación.
Vamos a suponer que juegas con otra persona.
Las instrucciones las das verbalmente y el otro las sigue
sin mostrarte su desarrollo. Finalmente, en el paso 6
le pides que diga su resultado. ¿Cómo le
haces para decirle a tu compañero el número
que pensó al principio?
Una forma que a la mayoría se nos ocurre es concluir: ¡Pues
me regreso!
Hacer esto significa que a partir del número
que se obtiene como resultado en
el paso 5, se inicia el retorno aplicando
las operaciones inversas.
Hacer este retorno en el cuaderno para al menos dos
casos de los registrados en la actividad anterior.
Solamente y después de intentarlo en serio, ver
la manera de hacerlo en la siguiente liga: Solución
Sin embargo el Mago nos dice como le hace para saber
el número inicial en el noveno paso. Jugar otra
vez para conocer su respuesta.
Descartes. Autor de la actividad: Enrique
Martínez Arcos
¿Se le resta 85 y se divide entre 10 el resultado? ¡Cómo...! ¿Por
qué?
En realidad la respuesta se encuentra al hacer un poco
de álgebra.
Volvamos a nuestra tabla, pero ahora no la llenemos
para un número particular, sino para un número
generalizado, es decir, una literal que represente una
variable numérica, por ejemplo x. Copiar
la tabla en el cuaderno y llenar las casillas vacías.
| Paso |
Instrucción |
Realización |
| 1 |
Piensa un número |
|
| 2 |
Multiplícalo por 4 |
|
| 3 |
Al resultado súmale 34 |
|
| 4 |
Ahora divide entre 2 |
|
| 5 |
Multiplica el resultado por 5 |
|
| 6 |
Introduce el número obtenido en... |
|
| 7 |
El número que pensaste al comienzo es... |
|
Se tiene que llegar a la expresión siguiente
que modela del primer paso
al quinto:
([(x × 4) + 34] ÷ 2)× 5
El mago pregunta en el noveno paso ¿Por
qué?, es decir, ¿por qué restar
85 al resultado y luego dividir entre 10?
Si se simplifica la expresión algebraica obtenida
hasta el paso 5 se tendrá prácticamente
la respuesta. Hacerlo.
Solamente y después de intentar hacer esta tarea,
con éxito o no, ver la solución en la siguiente
liga: Solución
|
Otro del mago
Hacer todo como en el caso anterior, es decir, modelar
en términos algebraicos el procedimiento en el
que se sustenta este otro juego.
Descartes. Autor de la actividad: Enrique
Martínez Arcos
Solamente y después de intentar hacer esta tarea,
con éxito o no, ver la solución en la siguiente
liga: Solución |
Antonio y su hijo
Antonio es 30
años mayor que su hijo. Dentro de 10 años
Antonio tendrá el doble de la edad que tenga
su hijo
|
Este enunciado se modelará a continuación.
| 1. |
Dos son las edades en consideración: la
de Antonio y su hijo. Puesto que la edad de Antonio
se da por medio de la de su hijo, que no se conoce, se
representará por x la edad del hijo (otro
caso posible de representación se analizará después). |
| 2. |
La primera oración: Antonio
es 30 años
mayor que su hijo, se refiere a su edad y se simboliza
así: x
+ 30, siendo x la
edad del hijo, como se acordó antes. |
| 3. |
La segunda oración requiere mayor cuidado:
Dentro de 10años Antonio tendrá el
doble de la edad que tenga su hijo.
El cuidado es por la frase: Dentro de 10 años.
Que obliga a pensar en la edad de los sujetos al cumplirse
ese tiempo:
| Dentro de 10 años |
| Edad de Antonio |
x + 30 + 10 = x + 40 |
| Edad del hijo |
x + 10 |
|
Resuelto lo anterior se concluye la representación:
| Dentro de 10años Antonio
tendrá el doble de la edad que tenga
su hijo |
x + 40
= 2 (x + 10)
|
|
En consecuencia la simbolización del enunciado inicial
es:
| Enunciado a modelar |
Antonio es 30 años mayor que
su hijo. Dentro de 10 años Antonio tendrá el
doble de la edad que tenga su hijo. |
| Traducción al álgebra |
Sea x la
representación de la edad actual del hijo
de Antonio. La siguiente ecuación incorpora las
dos condiciones del enunciado:
x + 40 = 2 (x + 10)
|
Esta ecuación es la que permite, al ser resuelta,
responder a la pregunta: ¿Cuál es la
edad actual del hijo de Antonio? Conocida la edad actual
del hijo, basta sumarle 30 para conocer la edad del padre.
|
Un esquema práctico
Las situaciones anteriores se han analizado con detalle,
pero en la práctica algunos de estos razonamientos se
hacen mentalmente y siempre es útil, cuando uno se inicia
en estos aprendizajes, apoyarse en esquemas como el siguiente:
Para el ejemplo anterior: Antonio
es 30 años mayor que su hijo. Dentro de 10años
Antonio tendrá el doble de la edad que tenga su hijo.
|
|
Hijo
|
Antonio
|
Condición
|
Ahora
|
x
|
x + 30
|
|
Dentro de 10 años
|
x + 10
|
x + 30 + 10 = x + 40
|
x + 40 = 2(x + 10)
|
Usar en este tipo de situaciones una sola variable x no
es en general la alternativa que mayoritariamente los alumnos
apliquen, generalmente usan dos variables, como a continuación
se hace:
|
|
Hijo
|
Antonio
|
Condición
|
Ahora
|
x
|
y
|
y = x + 30
|
Dentro de 10 años
|
x + 10
|
y + 10
|
y + 10 = 2(x + 10)
|
De esta forma tenemos ahora:
Enunciado a modelar |
Antonio es 30 años mayor que su hijo.
Dentro de 10años Antonio tendrá el doble de
la edad que tenga su hijo. |
Traducción al álgebra |
Sea y la
representación de la edad actual de Antonio y x la
de su hijo.
y = x + 30
y + 10 = 2(x + 10)
|
Las dos representaciones son correctas para resolver la pregunta ¿Cuáles
son las edades actuales de Antonio y su hijo? Y se puede pasar
fácilmente entre ellas, aunque
conceptualmente son diferentes:
Enunciado a modelar |
Antonio es 30 años mayor que su hijo.
Dentro de 10años Antonio tendrá el doble de
la edad que tenga su hijo. |
Clase de modelo
|
Simbolización usando una variable |
Sea x la
representación de la edad actual del hijo de Antonio.
x + 40 = 2 (x + 10)
|
Ecuación de primer grado con
una incógnita
|
Simbolización usando dos variables |
Sea y la
representación de la edad actual de Antonio y x la
de su hijo.
y = x + 30
y + 10 = 2(x + 10)
|
Sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas |
Modelar el problema de la edad de Diofanto planteado al
inicio de este tema. |
En álgebra las letras que representan números
se llaman también números generalizados y su manipulación
se guía por el cumplimiento de las propiedades generales
de los números.
Del álgebra elemental se suele decir también que
es una aritmética generalizada.
| El concepto de generalización hace referencia a
la comparación entre objetos o fenómenos destacando
los aspectos o características comunes y haciendo
caso omiso de las cualidades en que son diferentes. Entonces,
la generalización ocurre a partir de un conjunto de
casos concretos y lo que se generaliza son cualidades o relaciones
comunes entre ellos. |
Los siguientes son casos para la generalización de hechos
matemáticos
Primer caso
En la siguiente tabla la primera columna tiene un contador,
en la segunda hay números pares.
Un contador es una variable cuyo primer valor es 1, el segundo
2, el tercero 3, etc. y se utiliza para contar caso en una secuencia.
En el cuaderno copiar la tabla y llenar las casillas vacías.
Contador
|
Número par
|
1
|
2
|
2
|
4
|
3
|
6
|
4
|
8
|
5
|
|
6
|
|
7
|
|
| |
|
| |
|
En el cuaderno copiar la tabla y contestarla:
| Si el contador es 27 |
¿Qué par corresponde? |
Respuesta: |
| Si el contador es 103 |
¿Qué par corresponde? |
Respuesta: |
| ... |
... |
|
| Si el contador es n |
¿Cómo se representa el número
correspondiente? |
Respuesta: |
El siguiente vínculo conduce a la respuesta, usarlo solamente
para comprobar el trabajo propio o en el caso en el que después
de intentarlo no se pueda responder Solución
Segundo caso
En el cuaderno copiar la tabla y llenar las casillas vacías.
Contador
|
Número impar
|
Número par
|
1
|
1
|
2
|
2
|
3
|
4
|
3
|
5
|
6
|
4
|
7
|
8
|
5
|
|
10
|
6
|
|
12
|
7
|
|
14
|
| |
|
|
| |
|
|
En el cuaderno copiar la tabla y contestarla:
El contador es 33 |
¿Que impar corresponde? |
Respuesta: |
El contador es 217 |
¿Que impar corresponde? |
Respuesta: |
| ... |
... |
|
El contador es n |
¿Como se representa el impar
correspondiente? |
Respuesta: |
El siguiente vínculo conduce a la respuesta. Usarlo
solamente para comprobar el trabajo propio o en el caso,
después
de intentarlo, de que no lo pueda responder Solución
Tercer caso
Números consecutivos son: 1, 2, 3, 4, también lo son:
25 y 26, como también -105, -104 y -103. En general si n representa
a un número entero, n y n + 1 representan
a dos números consecutivos; n-1, n, n+1,
son tres números consecutivos; estos otros también
son tres consecutivos:
n, n+1, n+2, en fin, no hay una única
forma de representar este tipo de números.
Cada vez que se cambia el valor de n la figura
cambia, probar.
Descartes. Autor de la actividad: Enrique
Martínez Arcos
Copiar la tabla en el cuaderno y llenarla.
Contador
|
Número de blancos
|
Número de rojos
|
1
|
|
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
6
|
|
|
7
|
|
|
12
|
|
|
35
|
|
|
n
|
|
|
En el cuaderno copia lo siguiente y llena los espacios:
Para el contador igual a n, el número
de figuras blancas es____ y el de figuras rojas es________ .
Cuarto caso
En el cuaderno copiar el siguiente cuadro en el cual se trabajan
dos números enteros consecutivos los cuales se elevan
al cuadrado. En la primera columna se escribe el cuadrado del
mayor, en
la segunda el del menor y en la tercera columna la diferencia
entre ambos. Completar la tabla
con otros casos.
Cuadrado del número mayor
|
Cuadrado del número menor
|
Diferencia
|
5² = 25
|
4² = 16
|
9
|
2² = 4
|
1² = 1
|
3
|
4² = 16
|
3² = 9
|
7
|
10² = 100
|
9² = 81
|
19
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
¿Completada la tabla se observa alguna regularidad? ¿Alguna
relación entre la diferencia y los números de las
otras columnas?
Números consecutivos son: 1, 2, 3, 4, también lo son:
25 y 26, como también -105, -104 y -103. En general si n representa
a un número entero, n y n + 1 representan
a dos números consecutivos; n-1, n, n+1,
son tres números consecutivos; estos otros también
son tres consecutivos: n, n+1, n+2, en fin,
no hay una única forma de representar este tipo de números.
Escribir en el cuaderno:
- En el lenguaje común la descripción de la relación
entre las operaciones en las primeras dos columnas y la diferencia
en la última.
- Una fórmula (utilizando la representación generalizada
para los números consecutivos) que exprese la relación
descrita en el inciso anterior.
Solamente después de obtener la fórmula o bien
de intentar la tarea sin lograr éxito, ver la solución
en al siguiente liga: Solución
Probar que la fórmula sirve al aplicarla en otros casos.
Un caso parecido al anterior
Para todo par de números consecutivos la diferencia entre
ellos es la unidad. Para parejas de esta clase de números
se analizó el caso anterior encontrando la fórmula
que ya conocemos.
En este nuevo caso se va a desarrollar un análisis similar
al anterior para parejas de números cuya diferencia es
de dos unidades. De nueva cuenta copiar la tabla, completarla.
Cuadrado del número mayor
|
Cuadrado del número menor
|
Diferencia
|
6² = 36
|
4² = 16
|
20
|
20² = 400
|
18² = 324
|
76
|
4² = 16
|
|
12
|
11² = 121
|
9² = 81
|
40
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
¿Completada la tabla se observa alguna regularidad? ¿Alguna
relación entre la diferencia y los números de las
otras columnas?
Si n representa a un número entero ¿cómo
de representará en forma generalizada a los números
que forman las parejas que ahora se utilizan?
Escribir en el cuaderno:
- En el lenguaje común la descripción de la relación
entre las operaciones en las primeras dos columnas y la diferencia
en la última.
- Una fórmula (hacer uso de la representación
generalizada para los números utilizados) que exprese
la relación descrita en el inciso anterior.
Solamente después de obtener la fórmula o bien
de intentar la tarea sin lograr éxito, ver la solución
en la siguiente liga: Solución
Probar que la fórmula sirve al aplicarla en otros casos.
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